Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，E為BC中點，連ED．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑為3，ED=4，求AB長？

Answer 1

（1）證明：
方法一：連接OD，OE，CD，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°，
即OD⊥ED，
∴ED與⊙O相切．
方法二：連接OE，OD，
∵E是BC的中點，∠BDC=90°，
∴DE=CE，
又∵OD=OC，OE=OE，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠OCE=90°，
即OD⊥ED，
∵D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切．

（2）∵⊙O半徑為3，即OC=3，ED=4，
∴CE=ED=4，
∴OE=

CE2+OC2

=5，
∵E為BC中點，OC=OA，
∴OE為△ACB的中位線，
∴OE=

1

2

AB，
∴AB=10．
答：AB長為10．