Question

【題目】（背景）如圖(a)，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，求證：BD＝CE.

（探究）如圖(b)，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE.

①∠AEB的度數為________；②線段BE與AD之間的數量關系是________．

（拓展）如圖(c)，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.

①求∠AEB的度數；

②請直接寫出線段CM，AE，BE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】背景：見解析；探究：①60°　②BE＝AD；拓展：（1）90°；（2）AE＝BE＋2CM

【解析】

背景：根據全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD=CE；

探究：①根據△ACB和△DCE均為等邊三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為60°即可；

②，由△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD；

拓展：①根據△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為90°即可；

②根據∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據此判斷出AE=BE+2CM即可．

背景：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；

探究：①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=180-60=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120-60=60°，

故答案為：60°；

②∵△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，

故答案為：BE=AD；

拓展：①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°，

∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC＝180°－∠CDE＝180°－45°＝135°，

∴∠BEC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°；

②∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，

∴CM=DM=EM，

∴DE=DM+EM=2CM，

又∵AD=BE，

∴AE=AD+DE=BE+2CM