Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別相交于A、C兩點；分別過A、C兩點作x軸、y軸的垂線相交于B點，P為BC邊上一動點．
（1）求C點的坐標；
（2）點P從點C出發沿著CB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動，過點P作PE∥AC交AB于B，設運動時間為t秒，用含t的代數式表示△PBE的面積S；
（3）在（2）的條件下點P的運動過程中，將△PBE沿著PE折疊（如圖所示），點B在平面內的落點為點D．當△PDE與△ABC重疊部分的面積等于

3

2

時，試求出P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）結合圖形，根據直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別相交于A、C兩點很容易求出點C的坐標．
（2）容易得出四邊形OABC是矩形，根據性質得出BP的表達式，因為△BPE∽△BCA，求出BE表達式，進而求出△PBE的面積S．
（3）先求出D點在AC上的特殊位置時t的值，然后分兩種情況求解．

解答：解：（1）當x=0時，y=6
∴點C的坐標為（0，6）；

（2）y=-

3

4

x+6與x軸相交于點A（8，0）
∵∠AOC=90°，BA⊥OA，BC⊥OC
∴四邊形OABC是矩形
∴BC=OA=8，AB=OC=6
∴BP=8-CP=8-t
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BCA
∴

BP

BC

=

BE

AB

∴BE=

3

4

(8-t)
∴S△PBE=

1

2

BP•BE=

3

8

(t-8)2=

3

8

t2-6t+24；

（3）設PD、DE與AC分別相交于點N、M，得，DP=BP=8-t，DE=BE=

3

4

(8-t)
∵PE∥AC
∴∠CNP=∠DPE，∠BPE=∠BCA
又∵∠BPE=∠DPE
∴∠CNP=∠PCN
∴PN=CP
∴當點P為CB的中點時，t=PN=CP=4，點D恰好落在CA上
①當0＜t≤4時，PN=CP=tDN=DP-t=8-2t
∵MN∥PE
∴

DN

DP

=

DM

DE

∴DM=

3

2

(4-t)
∴S_陰影=S_△BPE-S_△DMN=(

3

8

t2-6t+24)-

3

2

(4-t)2=

3

2

解得t1=

8-2 13

3

，t2=

8+2 13

3

＞4（舍去）
∴P點的坐標為（

8-2 13

3

，6）
②當4＜t＜8時，S_陰影=S_△BPE=

3

8

t2-6t+24=

3

2

解得t₃=6，t₄=10＞8（舍去）
∴P點的坐標為（6，6）
即：當重疊部分的面積等于

3

2

時，P點的坐標為（

8-2 13

3

，6）或（6，6）

點評：在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題，注意理解其具體的意義，畫出圖形會比較清楚；很多題應該注意情況不止一種以及根的取舍問題，比如說不在定義域內等，聯系實際借助圖形的幫助更深的理解．