Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，延長CB到E，使BE=3，連接AE，過點A作AF⊥AE交DC于F
（1）求證：△ADF≌△ABE
（2）求cos∠BAF的值．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD是正方形，那么∠BAD=90°，而AF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠DAF=∠EAB，又∠ABE=∠D=90°，AB=AD，故△ADF≌△ABE．
（2）根據△ADF≌△ABE，得出AE=AF，AH=DF=BE，即可求出cos∠BAF的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠DAF+∠BAF=90°，
又∵AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠EAB，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠D=90°，AB=AD，
∴△ADF≌△ABE．

（2）解：過F作FH⊥AB于H，則四邊形ABCD為矩形，AH=DF，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=5，
由（1）得△ADF≌△ABE，
∴AF=AE=5，AH=DF=BE=3，
∴在Rt△AHF中，cos∠BAF=

3

5

．

點評：此題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質和勾股定理的運用．