Question

9．某水果經銷商到大圩種植基地采購葡萄，經銷商一次性采購葡萄的采購單價y（元/千克）與采購量x（千克）之間的函數關系圖象如圖中折線AB→BC→CD所示（不包括端點A），
（1）當500＜x≤1000時，寫出y與x之間的函數關系式；
（2）葡萄的種植成本為8元/千克，某經銷商一次性采購葡萄的采購量不超過1000千克，當采購量是多少時，大圩種植基地獲利最大，最大利潤是多少元？
（3）在（2）的條件下，若經銷商一次性付了16800元貨款，求大圩種植基地可以獲得多少元的利潤？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出當500＜x≤1000時，y與x之間的函數關系式即可；
（2）根據當0＜x≤500時，當500＜x≤1000時，分別求出獲利W與x的函數關系式，進而求出最值即可；
（3）根據貨款確定采購量x的范圍，再由：采購量×采購單價=貨款，列方程求出采購量x的值，由（2）可得利潤．

解答 解：（1）設當500＜x≤1000時，y與x之間的函數關系式為：y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{500a+b=30}\\{1000a+b=20}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.02}\\{b=40}\end{array}\right.$．
故y與x之間的函數關系式為：y=-0.02x+40；
（2）當采購量是x千克時，蔬菜種植基地獲利W元，
當0＜x≤500時，W=（30-8）x=22x，
則當x=500時，W有最大值11000元，
當500＜x≤1000時，
W=（y-8）x
=（-0.02x+32）x
=-0.02x²+32x
=-0.02（x-800）²+12800，
故當x=800時，W有最大值為12800元，
綜上所述，一次性采購量為800千克時，蔬菜種植基地能獲得最大利潤為12800元；
（3）當x=500時，y=30，采購總費用為15000元；
當x=1000時，y=20采購總費用為20000元；
∵15000＜16800＜20000，
∴該經銷商一次性采購量500＜x＜1000，
故該經銷商采購單價為：-0.02x+40，
根據題意得，x（-0.02x+40）=16800，解得x₁=1400（不符合題意，舍去），x₂=600；
當x=600時，大圩種植基地可以獲得的利潤w=-0.02（x-800）²+12800=12000（元）．
答：若經銷商一次性付了16800元貨款，大圩種植基地可以獲得12000元的利潤．

點評 本題主要考查了二次函數的應用及待定系數法求一次函數解析式、一元二次方程的解法技能，數形結合和分段討論是解題關鍵．