Question

在數學的學習中，我們要學會總結，不斷地歸納，思考和運用，這樣才能提高我們解決問題的能力，下面這個問題大家一定似曾相識：
（1）比較大小：
①2+1

 

2

2×1

；  ②3+

1

3

 

2

3× 1 3

③8+8

 

2

8×8

通過上面三個計算，我們可以初步對任意的非負實數a，b做出猜想a+b

 

2

ab

；
（2）學習了《二次根式》后我們可以對此猜想進行代數證明，請欣賞：
對于任意非負實數a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當a=b時，等號成立．
（3）學習《圓》后，我們可以對這個結論進行幾何驗證：
如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上的任意一點，（與A、B不重合）過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b．
根據圖形證明：a+b≥2

ab

，并指出等號成立時的條件．

（4）驀然回首，我們發現在上學期的《梯形的中位線》一節遇到的一個問題，此時運用這個結論解決是那樣的簡單：
如圖有一個等腰梯形工件（厚度不計），其面積為1800cm²，現在要用細包裝帶如圖那樣包扎（四點為四邊中點），則至少需要包裝帶的長度為

 

cm．
（注意：包扎時背面也有帶子，打結處長度忽略不計）

Answer 1

分析：（1）直接計算算式，比較大小即可；
（3）連接OC，證明△ABC為直角三角形，CD⊥AB，利用相似三角形的性質可證CD=

ab

，而OC=

1

2

AB=

1

2

（a+b），由圖可知OC≥CD，代入證明結論；
（4）設EG=a，FH=b，根據梯形面積公式可知ab=1800，再由a+b≥2

ab

，可求a+b的最小值，得出包裝帶的長度．

解答：解：（1）＞，＞，=，≥；

（3）連接OC，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，

∴a+b=AD+BD=AB=2OC，
又∵CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠DCB，
∴△CDB∽△ADC，
∴AD•BD=CD²，
即ab=CD²，∴CD=

ab

，
而OC≥CD，
∴a+b≥2

ab

，
當D與O重合即CD為半徑時等號成立．

（4）設EG=a，FH=b，
根據梯形面積公式可知ab=1800，
∵a+b≥2

ab

=2

1800

=60

2

，
∴a+b的最小值為60

2

，
∴包裝帶需要2（a+b）=120

2

cm．
故答案為：120

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與實際應用．關鍵是由易到難，由特殊到一般，逐步求證，并會運用所得不等式解決實際問題．