Question

【題目】（1）如圖1，O是等邊△ABC內一點，連接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．求：

①旋轉角的度數；

②線段OD的長；

③∠BDC的度數．

（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內一點，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，連接OD．當OA、OB、OC滿足什么條件時，∠ODC=90°？請給出證明．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）OA2+2OB2=OC2時，∠ODC=90°，理由詳見解析.

【解析】

（1）①△ABO旋轉后AB與BC重合，根據旋轉的性質可知∠ABC是旋轉角，由△ABC是等邊三角形即可知答案.②由旋轉的性質可知OB=BD，根據旋轉角是60°可知∠OBD=60°即可證明△BOD是等邊三角形，進而求出OD的長.③根據OD=4，OC=5，CD=3可證明△OCD是直角三角形，根據△BOD是等邊三角形即可求出∠BDC得度數.（2）根據旋轉的性質可知旋轉角為90°，可證明三角形BOD是等腰直角三角形，進而求出OD= OB，根據△OCD是直角三角形即可知答案.

（1）①∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=60°，

∴旋轉角的度數為60°；

②∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴BO=BD，

而∠OBD=60°，

∴△OBD為等邊三角形；

∴OD=OB=4；

③∵△BOD為等邊三角形，

∴∠BDO=60°，

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵32+42=52，

∴CD2+OD2=OC2，

∴△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

（2）OA2+2OB2=OC2時，∠ODC=90°．理由如下：

∵△BAO繞點B順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，

∴△OBD為等腰直角三角形，

∴OD=OB，

∵當CD2+OD2=OC2時，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，

∴OA2+2OB2=OC2，

∴當OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時，∠ODC=90°．