Question

29、先閱讀理解兩條正確結論，并用這兩條結論完成應用與探究．閱讀：
正確結論1．在圖甲△ABC中，如果D是AB的中點，DE∥BC交AC于點E，那么E也是AC的中點，及DE是中位線．
正確結論2．在圖乙梯形ABCD中，如果E為腰AB的中點且EF∥AD∥BC．那么F也是CD的中點，及EF是中位線．
應用：如圖丙，已知，MN是平行四邊形ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足．求證：AA′+CC′=BB′+DD′．
探究：如圖丁，若直線MN向上移動，使點C在直線一側，A、B、D三點在直線另一側，則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關系？先對結論進行猜想，然后加以證明．

Answer 1

分析：首先根據題目提供的正確的結論得到正確的信息，然后根據加工的正確的信息進行應用及探究的證明．

解答：證明圖丙：連接AC，BD交于O，過O作OOˊ⊥MN垂足為Oˊ…（1分）
由正確結論1知OOˊ同為梯形BBˊDˊD與梯形AAˊCˊC的中位線
得AA′+CC′=BB′+DD′…（4分）

圖丁有關系：AA′=BB′++CC′+DD′…（5分）
證明：連接AC，BD交于O，過O作OOˊ⊥MN垂足為Oˊ，延長OOˊ交AˊC于Oˊˊ
由正確結論1知OOˊ為梯形BBˊDˊD的中位線…（6分）
得2 OOˊ=BB′+DD′…（7分）
由正確結論2知OOˊˊ為△AA′C的中位線
得AA′=2 OOˊˊ    …（8分）
OˊOˊˊ又為△A′CC′的中位線
得CC′=2 OˊOˊˊ  …（9分）
∴AA′=2 OOˊˊ=2 OOˊ+2 OˊOˊˊ=BB′+DD′+CC′（10分）

點評：本題考查了梯形的中位線定理及三角形的中位線定理的知識，解決本題的關鍵是正確的構造輔助線．