Question

（2008•資陽）如圖，已知點A的坐標是（-1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC，BC，過A，B，C三點作拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連接BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
第三問改成，在（2）的條件下，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A、B兩點的坐標即可得出OA、OB的長，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長，即可得出C點的坐標．然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）本題的關鍵是得出D點的坐標，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標為（4，-5）．根據B、D兩點的坐標即可用待定系數法求出直線BD的解析式；
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①過D作DP∥BC，交D點右側的拋物線于P，此時∠PDB=∠CBD，可先用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據BC與DP平行，那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同，因此可根據D的坐標求出DP的解析式，然后聯立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點．
②同①的思路類似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點N，使BN=BM．可通過證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線DN的解析式，進而可求出其與拋物線的交點即P點的坐標．
綜上所述可求出符合條件的P點的值．
解答：解：（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，（1分）
∴．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴，
解得OC=3（負值舍去）．
∴C（0，-3），
故設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=，
∴二次函數的解析式為y=（x+1）（x-9），
即y=x²-x-3．（4分）

（2）∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），（5分）
∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，
連接O′D交BC于點M，
則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．
∴O′D⊥x軸
∴D（4，-5）．（6分）
∴設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴（7分）
解得
∴直線BD的解析式為y=x-9．（8分）

（3）假設在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：設射線DP交⊙O′于點Q，則=．
分兩種情況（如圖所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉90°，使點D與點B重合，則點C與點Q₁重合，
因此，點Q₁（7，-4）符合=，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系數法可求出直線DQ₁解析式為y=x-．（9分）
解方程組
得
∴點P₁坐標為（，），坐標為（，）不符合題意，舍去．（10分）
②∵Q₁（7，-4），
∴點Q₁關于x軸對稱的點的坐標為Q₂（7，4）也符合=．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系數法可求出直線DQ₂解析式為y=3x-17．（11分）
解方程組
得，
即
∴點P₂坐標為（14，25），坐標為（3，-8）不符合題意，舍去．（12分）
∴符合條件的點P有兩個：P₁（，），P₂（14，25）．

解法二：分兩種情況（如圖所示）：
①當DP₁∥CB時，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系數法可求出直線BC解析式為y=x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴設直線DP₁的解析式為y=x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-，
∴直線DP₁解析式為y=x-．（9分）
解方程組
得
∴點P₁坐標為（，）或（，）（不符合題意舍去）．（10分）
②在線段O′B上取一點N，使BN=DM時，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直線BC解析式為y=x-3．
取x=4，得y=-，
∴M（4，-），
∴O′N=O′M=，
∴N（，0），
又∵D（4，-5），
∴直線DN解析式為y=3x-17．（11分）
解方程組
得，

∴點P₂坐標為（14，25），坐標為（3，-8）不符合題意，舍去．（12分）
∴符合條件的點P有兩個：P₁（，），P₂（14，25）．

解法三：分兩種情況（如圖所示）：
①求點P₁坐標同解法二．（10分）
②過C點作BD的平行線，交圓O′于G，
此時，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）題知直線BD的解析式為y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式為y=x-3，
設G（m，m-3），作GH⊥x軸交于x軸與H，
連接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）與G（7，4）可得，
DG的解析式為y=3x-17，（11分）
解方程組
得，
即
∴點P₂坐標為（14，25），坐標為（3，-8）不符合題意舍去．（12分）
∴符合條件的點P有兩個：P₁（，），P₂（14，25）．
說明：本題解法較多，如有不同的正確解法，請按此步驟給分．

解：
過B作BM⊥CD于M，
B（9，0），C（0，-3），由勾股定理得：BC==3，
∵∠BCD=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：BM=3，
∵△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，
∴根據△CDB和△CDP有一條公共邊CD，得出P到CD的高是3÷3=，
根據C（0，-3），D（4，-5）的坐標求出直線CD的解析式是y=x-3，
把直線CD向上平移單位得出直線y=x-3+，把直線CD向下平移單位得出直線y=x-3-，
則，，
解得：（因為此點不在直線BC下方舍去），，（因為此點不在直線BC下方舍去），，．
即P的坐標是（，）或（，）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似及全等、探究角相等的構成情況等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．