Question

（2008•資陽）如圖，在△ABC中，∠A，∠B的平分線交于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于點F．
（1）點D是△ABC的______心；
（2）求證：四邊形DECF為菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD、BD分別是∠A、∠B的平分線，可知點D是△ABC的內心；
（2）連接CD，根據平行線的性質，角平分線的性質證明?DECF為菱形．
解答：解：（1）點D是△ABC的內心．（2分）
（2）證法一：連接CD，（3分）
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF為平行四邊形，（4分）
又∵點D是△ABC的內心，
∴CD平分∠ACB，即∠FCD=∠ECD，（5分）
又∠FDC=∠ECD，
∴∠FCD=∠FDC
∴FC=FD，（6分）
∴?DECF為菱形．（7分）

證法二：
過D分別作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．（3分）
∵AD，BD分別平分∠CAB，∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．
∴DH=DI．（4分）
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四邊形DECF為平行四邊形，（5分）
∴S_□DECF=CE•DH=CF•DI，
∴CE=CF．（6分）
∴?DECF為菱形．（7分）
點評：解答此題需要熟知以下概念：
（1）三角形的內心：三角形三個內角平分線的交點叫三角形的內心；
（2）平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形；
（3）菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；