Question

今年我國多個省市遭受嚴重干旱，受旱災的影響，4月份，我市某蔬菜價格呈上升趨勢，其前四周每周的平均銷售價格變化如下表：

周數x	1	2	3	4
價格y（元/kg）	2	2.2	2.4	2.6

進入5月，由于本地蔬菜的上市，此種蔬菜的平均銷售價格y（元/千克）從5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y與周數x的變化情況滿足二次函數y=-x²+bx+c．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識直接寫出4月份y與x的函數關系式，并求出5月份y與x的函數關系式；
（2）若4月份此種蔬菜的進價m（元/千克）與周數x所滿足的函數關系為m=x+1.2，5月份此種蔬菜的進價m（元/千克）與周數x所滿足的函數關系為m=x+2．試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大？且最大利潤分別是多少？
（3）若5月份的第2周共銷售100噸此種蔬菜．從5月份的第3周起，由于受暴雨的影響，此種蔬菜的可供銷量將在第2周銷量的基礎上每周減少a%，政府為穩定蔬菜價格，從外地調運2噸此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜的銷售價格比第2周僅上漲0.8a%．若在這一舉措下，此種蔬菜在第3周的總銷售額與第2周剛好持平，請你參考以下數據，通過計算估算出a的整數值．
（參考數據：37²=1369，38²=1444，39²=1521，40²=1600，41²=1681）

Answer 1

【答案】分析：（1）從表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可確定是一次函數關系式；把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分別代入y=-+bx+c可求b、c的值，確定二次函數解析式；
（2）根據一次函數，二次函數的性質及自變量的取值范圍，求最大利潤；
（3）根據增長率的公式，列出方程求解即可．
解答：解：（1）4月份y與x滿足的函數關系式為y=0.2x+1.8
把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分別代入y=-+bx+c得

解得：，
∴5月份y與x滿足的函數關系式為y=-0.05x²-0.25x+3.1；

（2）設4月份第x周銷售此種蔬菜一千克的利潤為W₁元，5月份第x周銷售此種蔬菜一千克的利潤為W₂元．則：
W₁=（0.2x+1.8）-（x+1.2）=-0.05x+0.6
∵-0.05＜0，∴W₁隨x的增大而減少
∴當x=1時，W_1最大=-0.05+0.6=0.55
W₂=（-0.05x²-0.25x+3.1）-（-x+2）=-0.05x²-0.05x+1.1
∵對稱軸為x=-=-0.5，且-0.05＜0，
∴當x=1時，W_2最大=1
∴4月份銷售此種蔬菜一千克的利潤在第1周最大，最大利潤為0.55元，
5月份銷售此種蔬菜一千克的利潤在第1周最大，最大利潤為1元．

（3）由題意知：[100（1-a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100，
整理，得a²+23a-250=0，解得a=
∵39²=1521，40²=1600，而1529更接近1521，∴取≈39
∴a≈-31（舍去）或a≈8．
點評：本題考查了一次函數、二次函數解析式求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．