Question

今年我國多個省市遭受嚴重干旱．受旱災的影響，4月份，我市某蔬菜價格呈上升趨勢，其前四周每周的平均銷售價格變化如下表：

周數x	1	2	3	4
價格y（元/千克）	2	2.2	2.4	2.6

進入5月，由于本地蔬菜的上市，此種蔬菜的平均銷售價格y（元/千克）從5月第1周的2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克，且y與周數x的變化情況滿足二次函數y=-

1

20

x2+ bx+c．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識直接寫出4月份y與x所滿足的函數關系式，并求出5月份y與x所滿足的二次函數關系式；
（2）若4月份此種蔬菜的進價m（元/千克）與周數x所滿足的函數關系為m=

1

4

x+1.2，5月份的進價m（元/千克）與周數x所滿足的函數關系為m=-

1

5

x+2．試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大？且最大利潤分別是多少？

Answer 1

分析：（1）從表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可確定是一次函數關系式，繼而代入兩點可得出4月份y與x所滿足的函數關系式；再把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分別代入y=-

1

20

x²+bx+c，求出b、c的值，即可確定5月份y與x所滿足的二次函數關系式；
（2）設第x周銷售此種蔬菜一千克時，4月份獲得的利潤為W₁元，5月份獲得的利潤為W₂元．先根據利潤=售價-進價，分別列出W₁與x，W₂與x的函數解析式，再分別根據一次函數、二次函數的性質及自變量的取值范圍，求解即可．

解答：解：（1）通過觀察可知，四月份周數y與x符合一次函數關系，設這個關系式為：y=kx+b，
則

k+b=2 2k+b=2.2

，
 解得：

k=0.2 b=1.8

，
所以4月份y與x的函數關系式為y=0.2x+1.8；
將（1，2.8），（2，2.4）代入y=-

1

20

x²+bx+c，
可得：

- 1 20 +b+c=2.8 - 1 5 +2b+c=2.4

，
解得：

b=- 1 4 c= 31 10

，
所以5月份y與x的二次函數關系式為y=-

1

20

x²-

1

4

x+

31

10

；

（2）設第x周銷售此種蔬菜一千克時，4月份獲得的利潤為W₁元，5月份獲得的利潤為W₂元．
由題意，有W₁=y-m=（0.2x+1.8）-（

1

4

x+1.2），即：W₁=-0.05x+0.6．
∵-0.05＜0，∴W₁隨x的增大而減小，
又∵x為正整數，
∴當x=1時利潤最大，最大值為：W=-0.05×1+0.6=0.55（元）；
W₂=y-m=（-

1

20

x²-

1

4

x+

31

10

）-（-

1

5

x+2），即：W₂=-

1

20

x²-

1

20

x+

11

10

，
∵a=-

1

20

＜0，對稱軸為：x=-

b

2a

=-

1

2

，
∴W₂隨x的增大而減小，
又∵x為正整數，
∴當x=1時利潤最大，最大值為：W₂=-

1

20

-

1

20

+

11

10

=1（元）．
故4月份在第一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大，且最大利潤是0.55元；5月份在第一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大，且最大利潤是1元．

點評：本題考查了一次函數、二次函數解析式求法及二次函數的實際應用，解答本題的關鍵是求出兩函數關系式，將實際問題轉化為數學計算，有一定難度．