Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°．E是BC邊上一動點，F是CD邊上一動點，且BE=CF，連接AE、AF．

（1）∠EAF的度數是；
（2）求證：AE=AF；
（3）延長AF交BC的延長線于點G，連接EF，設BE=x，EF2=y，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）

證明：由（1）證得△ABE≌△ACF，

∴AE=AF

（3）

解：由（2）得AE=AF，△ABE≌△ACF，

∴∠CAF=∠BAE，

∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴∠AFE=60°，

∴∠EFG=180﹣∠AFE=120°，

∵∠BCD=120°=∠EFG，∠CEF=∠FEG，

∴△ECF∽△EFG，

∴ ，∴EF2=ECEG，

∵AB∥CD，∴ ，

∴ ，

∴CG= ，

∴EG=CE+CG=6﹣x+ ，

∵EF2=ECEG，

∴y=（6﹣x）（6﹣x+ ）=x2﹣6x+36．

【解析】（1）解：如圖1，連接AC，

在菱形ABCD中，
∵AB=BC=6，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ACF=60°，
在△ABE與△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE，
∵∠BAE+∠CAE=60°，
∴∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠EAF=60°，
所以答案是：60°；
【考點精析】認真審題，首先需要了解全等三角形的性質(全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等)，還要掌握菱形的性質(菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半)的相關知識才是答題的關鍵．