Question

【題目】如圖(1)，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．

(1)求證：OE＝OF；

(2)如圖(2)，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其他條件不變，則結論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，

∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．

(2)OE＝OF成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．

又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE．

又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF．

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質對角線垂直且平分，得到OB=OA，又因為AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．（2）根據第一步得到的結果以及正方形的性質得到OB=OA，再根據已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．

解：OE=OF成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°，

∠E+∠OBE=90°，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF．

∴OE=OF．