Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC內自由移動，若⊙O的半徑為1，且圓心O在△ABC內所能到達的區域的面積為，則△ABC的周長為______.

Answer 1

【答案】25

【解析】

如圖，可知圓心O在△ABC內所能到達的區域為△DEF的邊以及其內部，其中點D在∠BAC的角平分線上，且到AB、AC邊的距離為1，點E在∠ACB的角平分線上，且到CA、CB邊的距離為1，點F在∠ABC的角平分線上，且到BA、BC邊的距離為1，DH、EP分別垂直于AC，EM、FQ分別垂直于BC，DK、FN分別垂直于AB，

則有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四邊形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，繼而根據已知可分別求出DE、EF、DF的長，再設AH=AK=x，BN=BQ=y，

則有AC =x+，BC=5+y，AB= x+y+，再根據AC：BC：AB=5：12：13列方程組可求出x、y的值，繼而根據三角形的周長公式進行求解即可.

如圖，可知圓心O在△ABC內所能到達的區域為△DEF的邊以及其內部，其中點D在∠BAC的角平分線上，且到AB、AC邊的距離為1，點E在∠ACB的角平分線上，且到CA、CB邊的距離為1，點F在∠ABC的角平分線上，且到BA、BC邊的距離為1，DH、EP分別垂直于AC，EM、FQ分別垂直于BC，DK、FN分別垂直于AB，

則有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四邊形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，

又∵AC：BC：AB=5：12：13，

∴DE：EF：DF=5：12：13，

又∵S△DEF=DEEF=，

∴DE=，EF=4，

∴DF=，

∴PH=DE=，MQ=EF=4，NK=DF=，

設AH=AK=x，BN=BQ=y，

則有AC=AH+HP+CP=x+，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+，

又∵AC：BC：AB=5：12：13，

∴，

解得：，

∴AC=+，BC=10，AB=++5，

∴AC+BC+AB=++10+++5=7+3+10+5=25，

故答案為：25.