Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，若點P為y軸上的一個動點，連接PD，則的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC，連接CD，過點A作AE⊥CD交于點E，則AE為所求.由銳角三角函數的知識可知PC=PE，然后通過證明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性質求解即可.

解：連接AC，連接CD，過點A作AE⊥CD交于點E，則AE為所求.

當x=0時，y=3,

∴C(0,3).

當y=0時，

0=-x2+2x+3，

∴x1=3，x2=-1，

∴A（-1，0）、B（3，0），

∴OA=1，OC=3，

∴AC=，

∵二次函數y=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1,

∴D(1,0),

∴點A與點D關于y軸對稱，

∴sin∠ACO=，

由對稱性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD= AC=，

∴sin∠OCD=，

∵sin∠OCD=，

∴PC=PE，

∵PA=PD，

∴PC+PD=PE+PA，

∵∠CDO=∠ADE, ∠COD=AED,

∴△CDO∽△AED,

∴,

∴,

∴；

故答案為.