Question

【題目】拋物線與軸交于點A，點B（1，0），與軸交于點C（0，﹣3），點M是其頂點．

（1）求拋物線解析式；

（2）第一象限拋物線上有一點D,滿足∠DAB=45°,求點D的坐標；

（3）直線 (﹣3＜＜﹣1)與x軸相交于點H．與線段AC，AM和拋物線分別相交于點E，F，P．證明線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，5）；（3）答案見解析

【解析】試題分析：（1）把B、C的坐標代入，解方程組即可得到結論；

（2）令y=0，求出A、B的坐標，設直線AD交y軸于點N，求出求直線AN的解析式， 與拋物線聯立成方程組，解方程組，即可得到D的坐標；

（3）求出直線AM、AC的解析式，當x=t時，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，由HE+EF﹣FP=＞0， 得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到當﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形．

試題解析：解：（1）∵拋物線經過點B、C，∴ ，解得： ，∴拋物線的解析式為： ；

（2）令y=0，得： ，解得： ， ，∴A（﹣3，0），B（1，0），

設直線AD交y軸于點N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），

可求直線AN的解析式為y=x+3，

聯立，解得： 或，∴D的坐標為（2，5）；

（3）M（﹣1，﹣4），

可求直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，

∵當x=t時，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）

∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，

∵HE+EF﹣FP=＞0，

∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，

∴當﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形．