【題目】如圖，己知△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，分別連接AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ, BP=CQ.
(1)求證：△ABP≌△ACQ；
(2)連接PQ,求證△APQ是等邊三角形；
(3)連接P設△CPQ是以
PQC為頂角的等腰三角形，且∠BPC=100
，求∠APB的度數.
【答案】(1)答案見解析；（2）答案見解析；（3）160°
【解析】試題分析:易證AB=AC，∠BAC=60°，即可證明△ABP≌△ACQ，可得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，即可求得∠PAQ=60°，即可解題．
（1）證明： ∵ △ABC是等邊三角形，
∴ AB=AC .
在△ABP和△ACQ中
，
∴ △ABP ≌ △ACQ ( SAS ).
（2）證明： ∵ △ABP ≌ △ACQ，
∴ 
, 
，
∴ 
，
∴ 
.
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ 
，
∴ 
，
∴ △APQ是等邊三角形.
（3）解： 如圖示
∵ △CPQ是等腰三角形，∠PQC為頂角，
∴ 
.
設
，
=
.
∵ △APQ是等邊三角形，
∴ 
，
∴ 
.
∵ △ABP ≌ △ACQ，
∴ 
，
∴ 
.
∵ 
，
又∵ 
∴ 
，
解得 
，
∴ 
.
點睛: 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了正三角形的判定，本題中求證△ABP≌△ACQ是解題的關鍵．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】有許多代數恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖①，它表示(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2．
(1) 觀察圖②,請你寫出三個代數式(m+n) 2、(m－n) 2、mn之間的等量關系是_________;
(2) 小明用8個一樣大的長方形(長acm，寬bcm)拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖案甲是一個正方形，圖案乙是一個大的長方形：圖案甲的中間留下了邊長是2cm的正方形小洞．則(a+2b)2－8ab的值_______．
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【題目】在△ABC中，AB=AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC=90°時，那么∠DCE= 度；
（2）設∠BAC= 
，∠DCE= 
．
① 如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究
與
之間的數量關系，并證明你的結論；
② 如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時
與
之間的數量關系（不需證明）．
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【題目】如圖，一條直線上有兩只螞蟻，甲螞蟻在點A處，乙螞蟻在點B處，假設兩只螞蟻同時出發，爬行方向只能沿直線AB在“向左”或“向右”中隨機選擇，并且甲螞蟻爬行的速度比乙螞蟻快．(1)甲螞蟻選擇“向左”爬行的概率為________；
(2)利用列表或畫樹狀圖的方法求兩只螞蟻開始爬行后會“觸碰到”的概率．
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【題目】（本題滿分10分）如圖，已知直線
和雙曲線
（k＞0），點A（m，n）在雙曲線 
上．當m=n=2時．
（1）直接寫出k的值；
（2）將直線
作怎樣的平移能使平移后的直線與雙曲線 
只有一個交點．
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【題目】如圖所示，△DEF是由△ABC繞點O順時針旋轉180°后形成的圖形；
(1)請你指出圖中所有相等的線段；
(2)圖中哪些三角形可以被看成是關于點O成中心對稱關系？
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【題目】拋物線
與
軸交于點A，點B（1，0），與
軸交于點C（0，﹣3），點M是其頂點．
（1）求拋物線解析式；
（2）第一象限拋物線上有一點D,滿足∠DAB=45°,求點D的坐標；
（3）直線
(﹣3＜
＜﹣1)與x軸相交于點H．與線段AC，AM和拋物線分別相交于點E，F，P．證明線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形.
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【題目】問題探究
（
）如圖①，已知正方形
的邊長為
，點
和
分別是邊
、
上兩點，且
．連接
和
，交于點
．猜想
與
的位置關系，并證明你的結論．
（
）如圖②，已知正方形
的邊長為
，點
和
分別從點
、
同時出發，以相同的速度沿
、
方向向終點
和
運動，連接
和
，交于點
，求
周長的最大值．
問題解決
（
）如圖③，
為邊長為
的菱形
的對角線， 
．點
和
分別從點
、
同時出發；以相同的速度沿
、
向終點
和
運動，連接
和
，交于點
，求
周長的最大值．
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