Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE、DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）當AE的長是多少時，四邊形CEDF是矩形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）時，四邊形CEDF是矩形.

【解析】

(1)先證明△GED≌△GFC，從而可得GE=GF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證得結論；

(2)當AE的長是7cm時，四邊形CEDF是矩形，理由如下：作AP⊥BC于P，則∠APB =90°，求得BP=3cm，再證明△ABP≌△CDE，可得∠CED=∠APB=90°，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得.

(1)四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BF，

∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD，

∵GD=GC，

∴△GED≌△GFC，

∴GE=GF，

∵GD=GC，GE=GF，

∴四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)當AE的長是7cm時，四邊形CEDF是矩形，理由如下：

作AP⊥BC于P，則∠APB=∠APC=90°，

∵∠B=60°，

∴∠PAB=90°-∠B=30°，

∴BP=AB==3cm，

四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠CDE=∠B=60°，DC=AB=6cm，AD=BC=10cm，

∵AE=7cm，

∴DE=AD-AE=3cm=BP，

∴△ABP≌△CDE，

∴∠CED=∠APB=90°，

又∵四邊形CEDF是平行四邊形，

∴平行四邊形CEDF是矩形，

即當AE=7cm時，四邊形CEDF是矩形.