Question

【題目】已知，如圖，點P是平行四邊形ABCD外一點，PE∥AB交BC于點E．PA、PD分別交BC于點M、N，點M是BE的中點．

（1）求證：CN=EN；

（2）若平行四邊形ABCD的面積為12，求△PMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠BAM=∠EPM，根據線段中點的定義得到BM=EM，根據全等三角形的性質得到AB=PE，根據平行四邊形的判定和性質定理即可得到結論；
（2）過P作PH⊥AD于H，交BC于G，根據全等三角形的性質得到AM=PM，根據平行線等分線段定理得到AG=HG=PH，根據平行四邊形和三角形的面積公式即可得到結論．

解：（1）連接DE,PC.

∵PE∥AB，
∴∠BAM=∠EPM，
∵∠AMB=∠PME，
∵點M是BE的中點，
∴BM=EM，
∴△ABM≌△PEM（AAS），
∴AB=PE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，

∴PE∥CD，PE=CD，
∴四邊形PEDC是平行四邊形，
∴EN=CN；
（2）過P作PH⊥AD于H，交BC于G，
由（1）知，△ABM≌△PEM，
∴AM=PM，
∵AD∥BC，
∴AG=HG=PH，
∵BM=EM，EN=CN，
∴MN=BC=AD，
∵平行四邊形ABCD的面積為12，

∴ADPH=24，
∴△PMN的面積=MNPG=×AD×PH=ADPH=×24=3．