Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的與邊BC，AC分別交于D、E，DF是的切線，交AC于點F．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）若AE＝4，DF＝3，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解

（2）半徑為

【解析】

（1）連接OD，作OG⊥AC于點G，推出∠ODB=∠C；然后證明DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可證明；
（2）過O作OG⊥AC，利用垂徑定理和矩形的性質，勾股定理解答即可．

（1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G，
，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，

∴AC//OD
∵DF是的切線

即：DF⊥OD，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF⊥AC；
（2）過O作OG⊥AC，
由垂徑定理可知：OG垂直平分AE，
∴∠AGO=90°，AG=2，
由（1）可知：四邊形ODFG為矩形，
∴OG=DF=3，

∴在Rt△AGO中，

∴