Question

如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠A=36°，AC=BC，AC² =AB×AD.    
（1）試證明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；    
（2）若AB=l，求AC的長；
（3）請你在下圖的基礎上構造一個等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對角線得到8個等腰三角形（標明各角的度數）．

Answer 1

解：(1)在△ABC中，AC= BC，
∴∠B=∠A= 36°，∠ACB= 108°．   
 在△ABC與△ACD中，∠A= 36°，AC²=AB·AD，
∴△ABC∽△ACD．    
∴∠ACD=∠B=36°．    
∴∠CDB= 72°，∠DCB= 108°-36°=72°．    
∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．    
(2)設AC=x，則x²-1×（1-x），即x²+x-l=0．    
解得：x₁=，x₂=（舍去）．   
 ∴AC的長為
(3)如圖所示．