Question

【題目】“轉化”是數學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉化成熟悉的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題．

已知：如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，試解答下列問題：

問題一：在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系　 　；

問題二：在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，試求∠P的度數；

問題三：在圖3中，已知AP、CP分別平分∠BAM、∠BCD，請問∠P與∠B、∠D之間存在著怎樣的數量關系？并說明理由．

問題四：在圖4中，已知AP的反向延長線平分∠EAB，CP平分∠DCF，請直接寫出∠P與∠B、∠D之間的數量關系 ．

Answer 1

【答案】(1) (2)38°(3) (4)

【解析】分析：（1）利用三角形的內角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據對頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根據（1）的關系式求出∠OCB﹣∠OAD，再根據角平分線的定義求出∠DAM﹣∠PCM，然后利用“8字形”的關系式列式整理即可得解；

（3）根據“8字形”數量關系有：∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°－∠MAN①，∠B+2∠PCN=∠D+180°－2∠MAN②，由①和②即可得到結論；

（4）根據“8字形”數量關系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN，∠D+∠DAN=∠B+∠BCO，即∠P+180°－∠GAN=∠B+180°－∠FCN①，∠D+180°-2∠GAN =∠B+180°－2∠FCN②，由①②可得結論．

詳解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D．在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C．

∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）∵∠D=40°，∠B=36°，∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，∴∠OCB﹣∠OAD=4°．

∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB．

又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；

（3）根據“8字形”數量關系有：∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°－∠MAN①，∠B+∠BCN=∠D+∠DAO=∠D+180°－∠MAB，∴∠B+2∠PCN=∠D+180°－2∠MAN②，由①和②得：∠D+∠B=2∠P-180°；

（4）根據“8字形”數量關系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN，∠D+∠DAN=∠B+∠BCO，

∴∠P+180°－∠GAN=∠B+180°－∠FCN①，∠D+180°-∠EAN=∠B+180°－∠FCO，∴∠D+180°-2∠GAN =∠B+180°－2∠FCN②

由①②得：2∠P-∠B=∠D．