Question

【題目】如圖，AD∥BC，∠D=90°．
（1）如圖1，若∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點P，試問：點P是線段CD的中點嗎？為什么？
（2）如圖2，如果P是DC的中點，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度數為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：點P是線段CD的中點．理由如下：

過點P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，

∵∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點P，

∴PD=PE，PC=PE，

∴PC=PD，

∴點P是線段CD的中點；

（2）解：過點P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC．

在△PBE與△PBC中，

，

∴△PBE≌△PBC（AAS），

∴∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，

∵PC=PD，

∴PD=PE，

在Rt△PAD與Rt△PAE中，

，

∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），

∴∠APD=∠APE，

∵∠APD+∠APE=180°﹣2×35°=110°，

∴∠APD=55°，

∴∠PAD=90°﹣∠APD=35°．

【解析】（1）過點P作PE⊥AB于E，根據平行線的性質求出∠C=90°，即PC⊥BC，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PE，PC=PE，從而得到PC=PD，然后根據線段中點的定義解答；（2）過點P作PE⊥AB于E，根據平行線的性質求出∠C=90°，即PC⊥BC，利用AAS證明△PBE≌△PBC，得出∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，由PC=PD，等量代換得到PD=PE，再根據HL證明Rt△PAD≌Rt△PAE，得出∠APD=∠APE=55°，那么∠PAD=90°﹣∠APD=35°．
【考點精析】利用角平分線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．