Question

（1997•廣西）已知：如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，

DB

=

DC

，以AD為直徑作⊙O交BA的延長線于E，交AC于F．
（1）求證：AE=AE；
（2）設AB=2，AC=7，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）連接DE、DF，根據直徑所對的圓周角為直角由AD是⊙O的直徑得到∠E=90°，∠DFA=90°，由

DB

=

DC

得∠DBC=∠DCB，又∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，則∠EAD=∠DAF，根據“AAS”可判斷△ADE≌△ADF，所以AE=AF；
（2）先根據“HL”可判斷Rt△DEB≌Rt△DFC，則EB=FC，AE+AB=AC-AF，于是AE+AB=AC-AE，然后把AB=2，AC=7代入計算即可．

解答：（1）證明：連接DE、DF，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠E=90°，∠DFA=90°，
∵

DB

=

DC

，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠EAD=∠DAF，
在△ADE≌△ADF中

∠E=∠DFA ∠EAD=∠FAD AD=AD

∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF；

（2）解：由（1）得DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE=DF DB=DC

∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴EB=FC，
∴AE+AB=AC-AF．
由（1）知AE=AF，
∴AE+AB=AC-AE，
∴AE=

1

2

（AC-AB）=

1

2

（7-2）=

5

2

．

點評：本題考查了圓周角定理及其討論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角．也考查了全等三角形的判定與性質．