Question

（1）如圖，若在△ABC中有三個內接正方形，其邊長分別為a=7，b=5，c=2．試證明∠ACB為直角．
（2）如圖，若在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在其中內接有三個邊長分別為a，b，c的小正方形，若b=7，c=3，試求出a的值．

Answer 1

（1）證明：∵在△ABC中有三個內接正方形，其邊長分別為a=7，b=5，c=2，
∴PF=a-c=7-2=5，GN=a-b=7-5=2，∠GNM=∠QPF=90°，
在△GNM與△QPF中，
，
∴△GNM≌△QPF（SAS），
∴∠2=∠3，
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠B．
∴∠3=∠B，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°；

（2）解：如圖，∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長分別7，3，a的三個正方形，
∴△CGF∽△NMG∽△PFQ，
∴NG：PQ=MN：PF，
∵NG=a-7，PQ=3，MN=7，PF=a-3，
∴（a-7）：3=7：（a-3），
∴a=10．
分析：（1）證得△GNM≌△QPF，可以證得∠ACB=90°；
（2）證得△GNM∽△QPF，由相似三角形的對應邊成比例來求得a=10．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質以及正方形的性質，解答（2）題的關鍵在于找到相似三角形，用a的表達式表示出對應邊．