Question

把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當的剪裁，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）．如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子．

（1）要使折成的長方形盒子的底面積為324cm²，那么剪掉的正方形的邊長為多少？
（2）折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知圖形利用邊長與面積之間的關系得出解析式即可；
（2）利用長方形盒子的側面積為：（40-2x）×x×4得出即可．

解答：解：（1）設剪掉的正方形的邊長為xcm，則
（40-2x）²=324，
解得：x₁=29（不合題意舍去），x₂=11，
答：剪掉的正方形的邊長為11cm；

（2）側面積有最大值，設剪掉的正方形的邊長為xcm，則
盒子的側面積y=4（40-2x）x=-8x²+160x=-8（x-10）²+800，
∴當x=10時，y_最大=800，
即當剪掉的正方形邊長為10cm時，長方形盒子的側面最大為800cm²．

點評：此題主要考查了二次函數的應用，利用已知得出剪掉的正方形邊長與側面積的函數關系式是解題關鍵．