Question

【題目】如圖，已知A，B兩點是直線AB與x軸的正半軸，y軸的正半軸的交點，且OA，OB的長分別是x2﹣14x+48=0的兩個根（OA＞OB），射線BC平分∠ABO交x軸于C點，若有一動點P以每秒1個單位的速度從B點開始沿射線BC移動，運動時間為t秒．

（1）求OA，OB的長；
（2）設△APB和△OPB的面積分別為s1 ， s2 ， 求s1：s2；
（3）在點P的運動過程中，△OPB可能是等腰三角形嗎？若可能，直接寫出時間t；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA、OB的長是方程x2﹣14x+48=0的兩根（OA＞OB），

解方程得：x1=8，x2=6，

∵OA＞OB，

∴OA=8，OB=6

（2）

解：如圖1，過P點作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，

∵BC為∠ABO的平分線，

∴PH=PD，

∴S1：S2=AB：OB，

∵OA=8，OB=6，

∴AB=10，

∴S1：S2=AB：OB=5：3

（3）

解：如圖2，過C作CD垂直AB，垂足為D，

設OC=x，則CD=x，易知BD=OB，

在直角三角形CDA中：CD2+AD2=AC2，

即x2+42=（8﹣x）2，

解得：x=3，

所以C點的坐標（3，0），

∴直線BC的解析式：y=﹣2x+6，

①BP=OB時，t=6，

②BP=OP時，P在OB的中垂線上，yp=3，代入直線BC的解析式得P（ ，3），

利用勾股定理可得BP= ，

∴t= ，

③OB=OP=6時，設P（m，﹣2m+6），

∴根據勾股定理得：m2+（﹣2m+6）2=62，

解得：m= ，

∴PB= = ，

∴t= ．

【解析】（1）解方程x2﹣14x+48=0即可得到結果；（2）根據角平分線的性質得到P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，而兩個三角形的高相等，S1：S2=AB：OB=5：3；（3）過C作CD垂直AB，垂足為D設OC=x，則CD=x，易知BD=OB，根據勾股定理列方程求得C點的坐標（3，0），得到直線BC的解析式：y=﹣2x+6，然后分三種情況逐一解答①當BP=OB=6時，得到t=6，②點BP=OP時，P在OB的中垂線上，得到yp=3，代入直線BC的解析式得P（ ，3），利用勾股定理可得BP= ，即可得到t的值；③當OB=OP=6時，設P（m，﹣2m+6），根據勾股定理列方程m2+（﹣2m+6）2=62 ， 解得m= ，然后再根據勾股定理得到PB= = ，求得結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．