Question

【題目】在一節數學課上，老師出示了這樣一個問題讓學生探究：

已知：如圖在△ABC中，點D 是BA邊延長線上一動點，點F 在BC上，且，連接DF交AC于點E .

（1）如圖1，當點E恰為DF的中點時，請求出的值；

（2）如圖2，當時，請求出的值（用含a的代數式表示）.

思考片刻后，同學們紛紛表達自己的想法：

甲：過點F作FG∥AB交AC于點G，構造相似三角形解決問題；

乙：過點F作FG∥AC交AB于點G，構造相似三角形解決問題；

丙：過點D作DG∥BC交CA延長線于點G，構造相似三角形解決問題；

老師說：“這三位同學的想法都可以” .

請參考上面某一種想法，完成第（1）問的求解過程，并直接寫出第（2）問的值.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1) ;(2)

【解析】試題分析：（1）分別對三種情況進行求解即可；（2）由（1）的結果直接得出的值.

試題解析：

（1）甲同學的想法：過點F作FG∥AB交AC于點G ．

∴∠GFE=∠ADE，∠FGE=∠DAE

∴△AED∽△GEF.

∴ ．

∵E為DF的中點，

∴ED=EF ．

∴AD=GF ．

∵FG∥AB，

∴△CGF∽△CAB.

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

乙同學的想法：過點F作FG∥AC交AB于點G ．

∴ ．

∵E為DF的中點，

∴ED=EF ．

∴AD=AG ．

∵FG∥AC，

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

丙同學的想法：過點D作DG∥BC交CA延長線于點G ．

∴∠C=∠G，∠CFE=∠GDE

∴△GDE∽△CFE.

∴ ．

∵E為DF的中點，

∴ED=EF ．

∴DG=FC．

∵DG∥BC，

∴∠C=∠G，∠B=∠ADG

∴△ADG∽△ABC.

∴ ．

∵，

∴ ．

∴ ．

（2）．