Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上一點O為圓心，OB為半徑作⊙O，交AC于點E，交AB于點D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）連接OC交BE于點F，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題（1）連接OE，證得OE⊥AC即可確定AC是切線；
（2）根據OE∥BC，分別得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形對應邊的比相等找到中間比即可求解．

試題解析：解：（1）連接OE．

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．

∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．

∵BD為⊙O的直徑，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC為⊙O的切線．

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC．

∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：5，∴OE：BC=3：5．

∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴．