Question

（2013•團風縣模擬）已知：如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，連接AB交OC于點D，AC=CD．
（1）求證：OC⊥OB；
（2）如果OD=1，tan∠OCA=

5

2

，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）根據OB=OA求出∠B=∠4，根據AC=CD得出∠1=∠2=∠3，根據切線性質求出∠1+∠4=90°=∠B+∠3，求出∠BOD度數即可；
（2）根據銳角三角函數得出OA：AC=2：

5

，設AC=2x，則AO=

5

x，由勾股定理求出OC=3x，得出3x=2x+1，求出x即可．

解答：（1）證明：
∵OA=OB，
∴∠B=∠4．
∵CD=AC，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1．
∵AC是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠3+∠B=90°，
∴∠BOD=90°，
∴OC⊥OB，

解：（2）在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∵tan∠OCA=

5

2

，
∴

OA

AC

=

5

2

，
∴設AC=2x，則AO=

5

x，
由勾股定理得，OC=3x．
∵AC=CD，
∴AC=CD=2x．
∵OD=1，
∴OC=2x+1．
∴2x+1=3x，
∴x=1，
∴AC=2×1=2．

點評：本題考查了勾股定理，切線的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，綜合性比較強．