Question

【題目】問題原型：如圖①，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別為邊AB、AD中點，且∠EOF=90°，易得四邊形AEOF的面積是正方形ABCD的面積的四分之一．（不用證明）

探究發現：某數學興趣小組，嘗試改變點E、F的位置，點E、F分別為邊AB、AD上任一點，且∠EOF=90°，如圖②，探究：四邊形AEOF的面積是否為正方形ABCD面積的四分之一？并說明理由．
拓展提升：如圖③，菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，且點E、F分別在邊DC、BC上，四邊形AECF的面積是菱形ABCD面積的幾分之一？（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】解：探究發現，四邊形AEOF的面積是否為正方形ABCD面積的四分之一．

理由：如圖②中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DO=AO，∠ODF=∠OAE=45°，∠DOA=90°，△AOD的面積是正方形ABCD面積的四分之一，

∵∠EOF=90°，

∴∠AOE+∠AOF=90°，又∠ODF=∠AOF=∠DOA=90°，

∴∠AOE=∠DOF，

∴△AOE≌△DOF，

∴S四邊形AEOF=S△AOD，

∴S四邊形AEOF= S正方形ABCD．

拓展提升：結論：S四邊形AEGF= S菱形ABGD．

理由：如圖③中，連接AG．

∵四邊形ABGD是菱形，∠DAB=120°，

∴AB=BG=GD=AD，∠GAD=∠GAB=60°，

∴△ADG和△ABG都是等邊三角形，

∴∠D=∠AGF=60°，AD=AG，

∵∠DAG=∠EAF=60°，

∴∠DAE=∠GAF，

∴△DAE≌△GAF，

∴S△DAE=S△GAF，

∴S四邊形AEGF=S△ADG= S菱形ABGD．

【解析】探究發現：只要證明△AOE≌△DOF，可得S四邊形AEOF=S△AOD，推出S四邊形AEOF= S正方形ABCD；

拓展提升：結論：S四邊形AEGF= S菱形ABGD．只要證明△DAE≌△GAF即可解決問題；