Question

如圖1，已知Rt△ABC中，，AC＝8cm，BC＝6cm．點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點E.設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）用含有t的代數式表示AE=_____________；
（2）當t為何值時，DQ=AP；
（3）如圖2，當t為何值時，平行四邊形AQPD為菱形；
（4）直接寫出：當DQ的長最小時，t的值.

Answer 1

（1）5－t；（2）；（3）；（4）

試題分析：（1）先根據勾股定理求得AB的長，再根據點P的運動特征即可求得結果；
（2）由題意當DQ=AP時，□AQPD是矩形，易證△APQ∽△ABC，根據相似三角形的性質求解即可；
（3）當□AQPD是菱形時，DQ⊥AP，根據∠BAC的余弦函數的定義求解即可；
（4）根據點P、Q的運動特征結合DQ的長度的特征求解即可.
（1）由題意得AE=5－t；
（2）當DQ=AP時，□AQPD是矩形
易證△APQ∽△ABC，得，解得
∴當時，DQ=AP；
（3）當□AQPD是菱形時，DQ⊥AP
則COS∠BAC，即，解得
∴當時，□AQPD是菱形；
（4） 
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.