Question

（2009•松江區二模）如圖，已知二次函數y=ax²-2ax+3（a＜0）的圖象與x軸的負半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，頂點為P，且OB=3OA，一次函數y=kx+b的圖象經過點A、點B．
（1）求一次函數的解析式；
（2）求頂點P的坐標；
（3）平移直線AB使其過點P，如果點M在平移后的直線上，且tan∠OAM=，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式即可得出B（0，3），根據OB=3OA，可求出OA的長，也就得出了A點的坐標，然后將A、B的坐標代入直線AB的解析式中，即可得出所求；
（2）將（1）得出的A點坐標代入拋物線的解析式中，可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式進而可求出P點的坐標；
（3）易求出平移后的直線的解析式，可根據此解析式設出M點坐標（設橫坐標，根據直線的解析式表示出縱坐標）．然后過M作x軸的垂線設垂足為E，在構建的直角三角形AME中，可用M點的坐標表示出ME和AE的長，然后根據∠OAM的正切值求出M的坐標．（本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．方法一樣．）
解答：解：
（1）∵y=ax²-2ax+3，當x=0時，y=3
∴B（0，3）
∴OB=3，
又∵OB=3OA，
∴AO=1
∴A（-1，0）
設直線AB的解析式y=kx+b，
解得k=3，b=3
∴直線AB的解析式為y=3x+3；

（2）∵A（-1，0）
∴0=a+2a+3，
∴a=-1
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴拋物線頂點P的坐標為（1，4）；

（3）設平移后的直線解析式y=3x+m
∵點P在此直線上，
∴4=3+m，m=1
∴平移后的直線解析式y=3x+1
設點M的坐標為（x，3x+1），作ME⊥x軸于E．
若點M在x軸上方時，ME=3x+1，AE=x+1
在Rt△AME中，由，
∴x=
∴M（，2）
若點M在x軸下方時，ME=-3x-1，AE=1+x
在Rt△AME中，由，
∴x=-
∴M（-，-）
所以M的坐標是（-，-）或（，2）．
點評：本題主要考查了一次及二次函數解析式的確定、函數圖象的平移等知識點．