Question

【題目】已知拋物線的頂點為點．

（1）求證：不論為何實數，該拋物線與軸總有兩個不同的交點；

（2）若拋物線的對稱軸為直線，求的值和點坐標；

（3）如圖，直線與（2）中的拋物線并于兩點，并與它的對稱軸交于點，直線交直線于點，交拋物線于點．求當為何值時，以為頂點的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），點坐標為；（3）或或時，可使得為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

（1）從的判別式出發，判別式總大于等于3，而證得；

（2）根據拋物線的對稱軸來求的值；然后利用配方法把拋物線解析式轉化為頂點式，由此可以寫出點的坐標；

（3）根據平行四邊形的性質得到：．

需要分類討論：①當四邊形是平行四邊形，，通過解該方程可以求得的值；

②當四邊形是平行四邊形，，通過解該方程可以求得的值．

解：（1），

∵不論為何實數，總有，

，

∴無論為何實數，關于的一元二次方程總有兩個不相等的實數根，

∴無論為何實數，拋物線與軸總有兩個不同的交點．

（2）拋物線的對稱軸為直線，

，即，

此時，拋物線的解析式為，

∴頂點坐標為；

（3）為頂點的四邊形是平行四邊形，

四邊形是平行四邊形（直線在拋物線的上方）或四邊形（直線在拋物線的下方），如圖所示，

由已知，

，

，

，

①當四邊形是平行四邊形，

，

整理得，，

解得（不合題意，舍去），；

②當四邊形是平行四邊形，

，

整理得，

解得，，

綜上，或或時，可使得為頂點的四邊形是平行四邊形．