Question

某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫療站，如圖，在A地北偏東45°、B地北偏西60°方向上有一牧民區C．
（1）求牧民區C到B地的距離（結果用根式表示）；
（2）一天，乙醫療隊的張醫生要到牧民區C巡診，他先由B地搭車沿公路到D處（BD＜CB）轉車，再由D地沿DC方向到牧民區C．若C、D 兩地距離是B、C兩地距離的

3

2

倍，求B、D兩地的距離．（結果精確到0.1千米）  參考數據：

1

3 +1

=

3 -1

2

，

1

2 +1

=

2

-1．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥AB于點E，設CE為未知數，分別表示出AE，BE的值，讓其相加得40求值即可求得CE的長，進而可求得CB的長；
（2）由CD和BC的數量關系可得CD和CE的數量關系，進而可得ED的長，讓BE的長減去DE的長即為BD的距離．

解答：解：
（1）作CE⊥AB于點E．
設CE為x千米，由題意得，∠CBE=30°，∠CAE=45°，
∴AE=CE=x，
在Rt△BCE中，tan30°=

x

BE

，
∴BE=

3

x，
∵AE+EB=AB=40，
∴x+

3

x=40，
解得x=20

3

-20，
∴CB=2CE=40

3

-40．
答：牧民區C到B地的距離為（40

3

-40）千米；

（2）∵C、D 兩地距離是B、C兩地距離的

3

2

倍，CE=

1

2

BC，
∴DC=

3

2

（40

3

-40）=60-20

3

，
BE=

3

x=

3

（20

3

-20）=60-20

3

，
∴DE=

2

CE=20

6

-20

2

，
∴BD=BE-DE=（60-20

3

）-（20

6

-20

2

）=60-20

3

-20

6

+20

2

≈4.7．
答：BD之間的距離為4.7千米．

點評：本題考查解直角三角形的應用；構造直角三角形，利用勾股定理及特殊的三角函數值求解是解決本題的突破點．