Question

【題目】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝16，cosB＝，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點E、F（點F在點E的右側），射線CE與射線BA交于點G．

（1）當圓C經過點A時，求CP的長

（2）聯結AP，當AP//CG時，求弦EF的長

（3）當△AGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）

【解析】

（1）當點A在⊙C上時，點E和點A重合，過點A作AH⊥BC于H，根據，求出BH的長度，得出AH垂直平分BC，由垂直平分線的性質得到AB=AC，從而得到CP=AC即可；
（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進而得出CN的長，進而利用銳角三角函數關系得出CP，再由勾股定理及垂徑定理求出EF的長；
（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE＝∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，列出相似比解出AE=6，從而得出EN的值，再由勾股定理即可求出CE的值．

解：（1）過點A作AH⊥BC，垂足為H，聯結AC．

在Rt△AHB中，∠AHB＝90°，

∵AB＝10，

∴BH＝8，AH=

∵BC＝16，

∴AH垂直平分BC，

∴AB＝AC＝10，

∵圓C經過點A，

∴CP＝AC＝10，

（2）過點C作CM⊥AD，垂足為M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AD∥BC，

若AP//CG，

則四邊形APCE為平行四邊形，

∵CE=CP，

∴平行四邊形APCE是菱形，

連接AC，PE交于點N，則AC⊥PE，

∴AN=CN=，

由（1）可知AC=AB=10，CM=AH=6

∴AN=CN=5，∠ABC=∠ACB，

∴CP=CE=，

則EF=2EM=，

∴當AP∥CG時，弦EF的長為．

（3）∵，

∴∠B﹤45°，

又∵∠BCG﹤90°，

∴∠BGC﹥45°，

又∵∠AEG＝∠BCG≥∠ACB＝∠B，

∴當∠AEG＝∠B時，A、E、G重合，

只能∠AGE＝∠AEG，

∵AD∥BC，

∴△GAE∽△GBC

∴，即，解得

∴EN＝AN－AE＝2，

∴．

∴圓C的半徑長為