Question

如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作圓O，與斜邊交于點D，E為BC邊上的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求sin∠CAE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，必須證ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要證AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D為AC中點，又BD⊥AC，所以△ABC為等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再利用此結論，過E作EH⊥AC于H，求出EH、AE，即可求得sin∠CAE的值．
解答：（1）證明：連接O、D與B、D兩點，
∵△BDC是Rt△，且E為BC中點，
∴∠EDB=∠EBD．（2分）
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切線．（4分）

（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四邊形AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D為AC中點，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC為等腰直角三角形．
∴∠CAB=45°．（6分）
過E作EH⊥AC于H，
設BC=2k，則EH=，（8分）
∴sin∠CAE=．（10分）
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．