Question

【題目】對于任意一個四位數．如果把它的前兩位數字和后兩位數字調換，則稱得到的數為的調換數，把與其調換數之差記為，例如的調換數為，．

（1）求證：對于任意一個四位數，都能被整除．

（2）我們把與的商記為，例如，若有兩數、，其中， ，，、都是正整數)，那么當時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60

【解析】

(1)設任意一個四位數的千位、百位、十位、個位數字分別為、、、，分別表示出這個四位數與其調換數，將這兩個數作差化簡即可得到結論；

(2)根據題目意思分別表示出和，將和代入得出，再表示出，結合題目條件即可得出結果．

(1)證明：設任意一個四位數的千位、百位、十位、個位數字分別為、、、，則

、、、為自然數，

為自然數，

能被整除；

(2)解：由題意可得：

，

，

，開口向下，且對稱軸為

又，且為正整數，

當時，取得最大值．