Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AO=CO=4，BO=DO=3，點P為線段AC上的一個動點.過點P分別作PM⊥AD于點M，作PN⊥DC于點N. 連接PB，在點P運動過程中，PM+PN+PB的最小值等于_________ .

Answer 1

【答案】7.8

【解析】

在△ADO中，由勾股定理可求得AD=5，由AC⊥BD，AO=CO，可知DO是AC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可知AD=DC；利用面積法可證得PM+PN為定值，當PB最短時，PM+PN+PB有最小值，由垂線的性質可知當點P與點O重合時，OB有最小值．

∵AC⊥BD于點O，AO=CO=4，BO=DO=3，

∴在Rt△AOD中，

AD=，

∵AC⊥BD于點O，AO=CO，
∴CD=AD=5，

如圖所示：連接PD，

∵，

∴，即，

∴PM+PN=4.8，

∴當PB最短時，PM+PN+PB有最小值，
∵由垂線段最短可知：當BP⊥AC時，PB最短．
∴當點P與點O重合時，PM+PN+PB有最小，最小值=．

故答案為：．