Question

【題目】如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA、AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D．

（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若AC＝6，OC＝4，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA＝PB，然后證明△PAO≌△PBO，進而可得∠PBO＝∠PAO，然后根據切線的性質可得∠PBO＝90°，進而可得：∠PAO＝90°，進而可證：PA是⊙O的切線；

（2）連接BE，由AC＝6，OC＝4，可求OA的值，然后根據射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據勾股定理可求AP的值．

（1）證明：如圖1，連接OB，則OA＝OB，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分線，

∴PA＝PB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，

∵PB為⊙O的切線，B為切點，

∴∠PBO＝90°，

∴∠PAO＝90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，連接BE，

∵OC＝4，AC＝6，

∴AB＝12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：，

，

在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC2＝OCPC，

解得：PC＝9，

∴OP＝PC+OC＝13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：，