Question

正在改造的人行道工地上，有兩種鋪設路面材料：一種是長為acm、寬為bcm的矩形板材（如圖1），另一種是邊長為ccm的正方形地磚（如圖2）．

（1）用多少塊如圖2所示的正方形地磚能拼出一個新的正方形？（只要寫出一個符合條件的答案即可），并寫出新正方形的面積；
（2）現用如圖1所示的四塊矩形板材鋪成一個大矩形（如圖3）或大正方形（如圖4），中間分別空出一個小矩形和一個小正方形．
①試比較中間的小矩形和中間的小正方形的面積哪個大？大多少？
②如圖4，已知大正方形的邊長比中間小正方形的邊長多20cm，面積大3200cm²．如果選用如圖2所示的正方形地磚（邊長為20cm）鋪設圖4中間的小正方形部分，那么能否做到不用切割地磚就可直接密鋪（縫隙忽略不計）呢？若能，請求出密鋪所需地磚的塊數；若不能，至少要切割幾塊如圖2的地磚？

Answer 1

解：（1）將四個圖2所示的正方形拼成一個新正方形即可；其面積為4c²；

（2）①圖3中的小長方形的面積為a（a-2b）=a²-2ab；圖4中的小長方形的面積為（a-b）²=a²-2ab+b²，
∵a²-2ab+b²＞a²-2ab；
∴圖4中小正方形的面積＞圖3中的小長方形的面積．
②圖4中大正方形的邊長比中間小正方形的邊長多20cm，故b=20÷2=10cm；
由圖4中大正方形的邊長比中間小正方形的面積大3200cm²得，4ab=3200，
又∵b=10cm，
∴a=3200÷（4×10）=80cm．
則圖4中中間小正方形的邊長為80-10=70cm．
如右圖至少要切割4塊如圖2的地磚．
分析：（1）根據正方形的性質和正方形的邊長解答；
（2）①列出圖形的面積表達式，再進行比較；②根據圖形的特點，以求得a、b的長．
點評：此題考查了圖形的變化和密鋪，根據正方形、長方形的性質求出圖形各邊的長是解題的關鍵．