Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．

（1）如圖①，當∠ABC=45°時，求證：AD=DE；

（2）如圖②，當∠ABC=30°時，線段AD與DE有何數量關系？并請說明理由；

（3）當∠ABC=α時，請直接寫出線段AD與DE的數量關系．（用含α的三角函數表示）

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）DE=AD；（3）AD=DEtanα．

【解析】

試題分析：（1）過點D作DF⊥BC，交AB于點F，得出∠BDE=∠ADF，∠EBD=∠AFD，即可得到△BDE≌△FDA，從而得到AD=DE；

（2）過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案；

（3）過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案．

試題解析：（1）如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F，則∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∵∠EBD=∠AFD，BD=DF，∠BDF=∠ADF，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；

（2）DE=AD，理由：

如圖2，過點D作DG⊥BC，交AB于點G，則∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；

（3）AD=DEtanα；理由：

如圖2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴，在Rt△BDG中，=tanα，則=tanα，∴AD=DEtanα．