Question

【題目】已知有一塊等腰三角形紙板，在它的兩腰上各有一點E和F，把這兩點分別與底邊中點連結，并沿著這兩條線段剪下兩個三角形，所得的這兩個三角形相似，剩余部分（四邊形）的四條邊的長度如圖所示，那么原等腰三角形的底邊長為（　　）

A. B. C. 或 D. 或

Answer 1

【答案】B

【解析】根據題意，本題需分點（1）A為等腰三角形的頂點，點D為等腰三角形底邊的中點；（2）點A為等腰三角形底邊的中點，點D為等腰三角形的頂點；兩種情況來討論：

（1）如圖1，當點A為等腰三角形的頂點，點D為底邊的中點時，設BD=DC=a，AB=AC=b，則BE=b-2，CF=b-4，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，

∴點B與點C，點E與點D，點D與點F為對應點，即△BED∽△CDF，

∴BE:CD=BD:CF，即(b-2):a=a(b-4)=3:2，解得：a= ，

∴BC=2a= ，該等腰三角形的底邊長為： .

，
（2）如圖2，當點D為等腰三角形的頂點，點A為底邊中點時，設AB=AC=a，BD=CD=b，則BE=b-3，CF=b-2,

∵BD=CD，

∴∠B=∠C，

∴點B與點C為對應點，

①若點E與點F、點A與點C為對應點，則△BEA∽△CFA，

∴BE:CF=EA:FA=BA:CA，即(b-3):(b-2)=a:a=2:4，此時a、b無解，故此種情況不成立；

②若點E與點A，點A與點F為對應點，由△BEA∽△CAF，

∴BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b-3）：a=2：4=a：（b-2），解得：a=，b=，則此時AB=，BE=，
又∵AE=2，

∴此時AB、BE、AE不能圍成三角形，故此種情況不成立；

綜上所述，這個等腰三角形底邊長為： .

故選B.