Question

21、閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）²[1+x]
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是

提取公因式

法，共應用了

3

次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，則需要應用上述方法

2011

次，分解因式后的結果是

（1+x）²⁰¹¹

．
（3）請用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n為正整數），必須有簡要的過程．

Answer 1

分析：（1）首先提取公因式（1+x），再次將[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），進而得出答案；
（2）根據（1）種方法即可得出分解因式后的結果；
（3）參照上式規律即可得出解題方法，求出即可．

解答：解：（1）根據已知可以直接得出答案：
提取公因式，3；

（2）2011，（1+x）²⁰¹¹；

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n-1）]，
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n-2）]，
=（1+x）ⁿ．

點評：此題主要考查了提公因式法分解因式，做題的關鍵是：①正確找到公因式，②注意觀察尋找規律．