Question

閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）=（1+x）³
（1）上述因式分解得方法是

提取公因式

法，共應用了

2

次，
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，則需要應用上述方法

2012

次，分解因式后的結果是

（1+x）²⁰¹³

．（3）請用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ，（其中n為正整數），必須有具體過程．
解：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ
=

Answer 1

分析：（1）把（1+x）看作整體，提取公因式，觀察得出提取公因式的次數；
（2）根據（1）得出提取公因式的次數及結果；
（3）根據（1）（2）算式最后一項的次數，得出提取公因式的次數及結果的次數．

解答：解：（1）由因式分解的過程可知，因式分解的方法是提取公因式法，提取了2次，
故答案為：提取公因式，2；

（2）（1）的算式最后一項（1+x）的次數為2，結果的次數為3，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，需要提公因式2012次，結果為（x+1）²⁰¹³，
故答案為：2012，（x+1）²⁰¹³；

（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）^n-1]
=（1+x）²[1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）^n-2]
=（1+x）ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了因式分解的方法-提取公因式法．關鍵是通過連續提公因式，得出提公因式的次數，結果的次數的關系．