Question

【題目】（問題情境）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2=AD·AB，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理；

（結論運用）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．

（1）試利用射影定理證明△ABC∽△BED；

（2）若DE=2CE，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

(1)可根據相似三角形的判定得到△ABC∽△BED；
（2）先計算出DE,CE，BE，OB的長度，再利用（1）中結論△ABC∽△BED結合比例性質解出OF．

（1）如圖1．

∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，

而∠CAD=∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴

如圖2．

∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴

∵CF⊥BE，∴，

∴BOBD=BFBE，即=，

而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；

（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2．

在Rt△BCE中，BE==2．在Rt△OBC中，OB=BC=3．

∵△BOF∽△BED，

∴=，即=，∴OF=．