Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC與Rt△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，且ED∥BC．

（1）求證：△ABC∽△EDC；

（2）若CE=3，CD=4，求CB的長．

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) .

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到CD=BD，由等腰三角形的性質得到∠DCB=∠B，根據平行線的性質得到∠EDC=∠BCD，等量代換得到∠B=∠EDC，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據勾股定理得到DE= =5，由直角三角形的性質得到AB=2CD=8，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：

∵在Rt△ABC，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠B=∠EDC，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴△ABC∽△EDC；

（2）解：∵∠DCE=90°，CE=3，CD=4，
∴DE= =5，
∵在Rt△ABC，CD為Rt△ABC斜邊上的中線，
∴AB=2CD=8，
∵△ABC∽△EDC，
∴ ＝ ，即 = ，
∴BC= ．