Question

【題目】在△ABC中，AB＝4 ，BC＝6，∠B＝45°，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿著過點(diǎn)D的直線折疊使點(diǎn)C落在AB邊上，則CD的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿著過點(diǎn)D的直線折疊使點(diǎn)C落在AB邊上，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，則點(diǎn)C與點(diǎn)C'應(yīng)在以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓上，
∴CD的最小值的情形，是⊙D與AB相切時(shí)，CD的最大值的情形，是點(diǎn)C'與點(diǎn)A重合時(shí).
①當(dāng)⊙D與AB相切時(shí)，如圖1：

圖1
過點(diǎn)D作DC'AB于點(diǎn)C'，設(shè)CD=x，則DC'=CD=x，
∵∠B＝45°，∴BD=x，
∴x+x=6，
解得：x=.
②當(dāng)點(diǎn)C'與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2：

連接DA，過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，設(shè)DC=DA=x，
∵∠B＝45°，∴AE=BE=4，∴EC=6-BE=6-4=2，
∴DE=x-2，
在RtADE 中，根據(jù)勾股定理得：
x2=（x-2）2+42 ，
解得：x=5.
綜合①②，可知.
故答案是：.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和軸對(duì)稱的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上才能得出正確答案．