Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，已知AB=CD，點E、F分別為AD、BC的中點，延長BA、CD，分別交射線FE于P、Q兩點．求證：∠BPF=∠CQF．

Answer 1

【答案】證明：如圖，連接BD，作BD的中點M，連接EM、FM．
∵點E是AD的中點，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM= AB，
∴∠MEF=∠P
同理可證：FM∥CD，FM= CD．
∴∠MGH=∠DFH．
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．
【解析】如圖，連接BD，作BD的中點M，連接FM、EM．利用三角形中位線定理證得△EMF是等腰三角形，則∠MEF=∠MFE．利用三角形中位線定理、平行線的性質推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠DCQF．根據等量代換證得∠P=∠CQF．
【考點精析】利用三角形中位線定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．